Simulaciòn: DISTRIBUCIÓN NORMAL O DE GAUSS

La generación de cualquier variable aleatoria se va a basar en la generación previa de una distribución uniforme (0,1).

Existen varios métodos que nos permiten generar variables aleatorias. Lo normal es que existan varias opciones para generar una misma variable aleatoria. La elección del método adecuado se puede basar en una serie de factores como:

Exactitud, se prefiere un método exacto frente a métodos aproximados, como soluciones numéricas.

Velocidad. Uno de los datos que se toma en consideración es el tiempo de generación de la variable.

Espacio. Necesidades de memoria del método utilizado. En general, los métodos no consumen mucha memoria.

Simplicidad.

La distribución normal es una distribución de variable continua que queda especificada por dos parámetros de los que depende su función de densidad y que resultan ser la desviación típica de la distribución típica de la distribución. Su estudio teórico suele introducirse directamente a partir de su función de densidad.

Es, con mucho, la más importante de todas las distribuciones de probabilidad. Es una distribución de variable continua, con campo de variación ]-∞, ∞ [.

Características de la distribución normal de probabilidad

La curva tiene un solo pico, por tanto es unimodal. Tiene forma de campana.
La media de una población distribuida normalmente cae en el centro de su curva normal.
Debido a la simetría de la distribución normal de probabilidad, la mediana y la moda de la distribución se encuentran también en el centro; en consecuencia, para una curva normal, la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor.
Los dos extremos de la distribución normal de probabilidad se extienden indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal.

La mayor parte de las poblaciones reales no se extienden de manera indefinida en ambas direcciones; pero para estas poblaciones, la distribución normal es una aproximación conveniente. No hay una sola distribución normal, si no una familia de curvas normales. Para definir la distribución normal de probabilidad necesitamos definir solo dos parámetros: la media (µ) y la desviación típica o estándar (σ).

La función de densidad normal (o gaussiana) fue propuesta por C.F. Gauss (1977-1855) como modelo para la distribución de frecuencia relativa de errores, como los errores de medición. Esta curva con forma de campana es un modelo adecuado para las distribuciones de frecuencia relativa de datos recabados de muchas áreas científicas diferentes y modela las distribuciones de probabilidad de muchas estadísticas que utilizaremos para hacer inferencias.

La variable aleatoria normal posee una función de densidad caracterizada por dos parámetros, su media y su varianza (µ y

, respectivamente). La media µ mide la ubicación de la distribución y la desviación estándar σ mide su dispersión.

La distribución Normal tiene como función de densidad la siguiente:

No es posible obtener una expresión de forma cerrada para la integral de la función de densidad normal. Sin embargo, podemos calcular áreas bajo la normal utilizando procedimientos de aproximación y el siguiente teorema:

Teorema: Si y es una variable aleatoria normal con media µ y varianza

, entonces:

Es una variable aleatoria normal con media 0 y varianza 1.

Quizás la más importante distribución continua no uniforme es la distribución normal con media 0 y desviación típica 1. Dicha distribución es llamada, a menudo, distribución normal unidad o estándar.

La inversa de su función de distribución no es fácil de calcular, pero hay otros métodos para obtener valores de ella.

Método Polar

Se usa para generar valores de la distribución N (0,1), hay dos aproximaciones diferentes de dicho método:

1) Propuesta de Marsaglia y Brax:

Se inscribe un círculo de radio 1 en un cuadrado de lado 2, se generan números aleatorios aceptando como salidas aquellos que caen dentro del círculo y rechazando los que caen dentro del cuadrado pero fuera del círculo.

El algoritmo es el siguiente: