Simulaciòn: MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA

INTRODUCCIÓN

Existen varios métodos que nos permiten generar variables aleatorias. Lo normal es que existan varias opciones para generar una misma variable aleatoria. La elección del método adecuado se puede basar en una serie de factores como:

Exactitud. Se prefiere un método exacto frente a métodos aproximados, como soluciones numéricas.
Velocidad. Uno de los datos que se toma en consideración es el °em tiempo de generación de la variable.
Espacio. Necesidades de memoria del método utilizado. En general, los métodos no consumen mucha memoria.
Simplicidad.

La mayoría de las técnicas utilizadas para la generación se pueden agrupar en:

Método de la transformada inversa
Método de aceptación-rechazo
Método de composición
Método de convolución

GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

La variabilidad de eventos y actividades se presentan a través de funciones de densidad para fenómenos continuos, y mediante distribuciones de probabilidad para fenómenos de tipo discreto. La simulación de estos eventos o actividades se realiza con la ayuda de la generación de variables aleatorias.

MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA

El método de la transformada inversa puede utilizarse para simular variables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la función acumulada f(x) y la generación de números pseudoaleatorios r_i ~U (0,1).

El método consiste en:

Definir la función de Densidad f(x) que representa la variable a modelar.
Calcular la función acumulada f(x).
Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa f(x)^-1.
Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con números pdeudoaleatorios r_i ~U (0,1) en la función acumulada inversa.

El método de la transformada inversa también puede emplearse para simular variables aleatorias de tipo discreto, como en las distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binomial, geométrica, discreta general, etc. La generación se lleva a cabo a través de la probabilidad acumulada P(x) y la generación de números pseudoaleatorios r_i ~U (0,1).

Metodología para generar variables aleatorias continuas.

Metodología para generar variables aleatorias discretas.

Distribución Uniforme

A partir de la función de la densidad de las variables aleatorias uniformes entre a y b.

Se obtiene la función acumulada

Igualando la función acumulada F(x) con el número pseudoaleatorio r_i ~U (0,1), y despejando x se obtiene:

X_i=a + (b - a) F(x)_i

X_i=a + (b - a) r

Ejemplo 1:

Los datos del tiempo de servicio en la caja de un banco se comportan de forma exponencial con media de 3 minutos/cliente. Una lista de números pseudoleatorios r_i ~U (0,1) y la ecuación generadora exponencial x_i = -3In (1 - r_i) nos permite simular el comportamiento de la variable aleatoria

Distribución de Bernoulli

A partir de la distribución de probabilidad de las variables aleatorias de Bernoulli con media

p(x) = p^x (1 – p)^{1 – x}para x=0,1

Se calculan las probabilidades para x=0 y x=1, para obtener

Acumulando los valores de p(x) se obtiene:

Generando números pseudoaleatorios r_i ~U (0,1) se aplica la regla:

La tabla siguiente muestra la demanda diaria de cepillos dentales en un supermercado.

Simular el comportamiento de la demanda mediante el método de la transformada inversa.

A partir de la información histórica se calculan las probabilidades puntuales y las acumuladas para x=0,1,2,3

La regla para generar esta variable aleatoria estaría dada por:

Con la lista de números pseudoaleatorios r_i ~U (0,1) y la regla anterior es posibles simular la demanda diaria de cepillos dentales, tal como se muestra