La distribución de Poisson

Introducción.

La distribución de Poisson se utiliza para describir cierto tipo de procesos, entre los que se encuentra la distribución de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, las solicitudes de pacientes que requieren de servicios en una institución de salud, la llegada de automóviles y camiones a una caseta de cobro y el número de accidentes registrados en ciertas intersecciones.

Los ejemplos anteriores pueden ser descritos mediante una variable aleatoria discreta que toma valores enteros (0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.). El número de pacientes que llegan a un consultorio en ciertos intervalos será de 0, 1, 2, 3, 4, 5 o algún otro número entero. De manera parecida si se cuenta el número de automóviles que llegan a una caseta de cobro durante un periodo de 10 minutos, el número será de 0, 1, 2, 3, 4, 5 y así consecutivamente.

Calculo de la distribución de Poisson.

• La distribución de probabilidad de Poisson, como se a mostrado, tiene que ver con ciertos procesos que pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta. Generalmente, la letra X representa a esta variable discreta y puede tomar valores (0, 1, 2, 3, 4 , 5. etc.). Utilizando la mayúsculas X para representar a la variable aleatoria y la minúscula x para señalar un valor especifico que dicha variable puede tomar.
• La probabilidad de tener exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula con la siguiente fórmula.

• La distribución de Poisson puede simularse mediante el método de la transformación cuantil con búsqueda secuencial. También puede simularse haciendo uso de la relación que guarda con la distribución exponencial. Así, dadas variables aleatorias T1, T2, …, Tn, … independientes y con distribución exponencial (λ), la variable aleatoria entera, X, que verifica.

• Definiendo (X = 0 si T1 > 1) tiene distribución Poisson (λ).
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• Supongamos que estamos investigando la seguridad de una peligrosa intersección. Los registros policiacos indican una media de cinco accidentes mensuales en esta intersección. El número de accidentes está distribuido de acuerdo con una distribución de Poisson, y el departamento de seguridad de transito desea que calculemos la probabilidad de que cualquier mes ocurra exactamente 0, 1, 2, 3, 4 accidentes. Utilizaremos la tabla de 4a del apéndice para evitar el tener que calcular e elevada a potencias negativas. Aplicando la fórmula.

* Nuestros cálculos responderán a varias preguntas. Quizá deseemos conocer La probabilidad detener 0, 1, 2 accidentes mensuales. Podemos averiguar esto sumando la probabilidad de tener exactamente 0,1 y 2 accidentes, de la siguiente forma:

* Tomaremos medidas para mejorar la seguridad de la intersección si la probabilidad de que ocurran más de tres accidentes mensuales excede el 0.65. Debemos tomar medidas? Para resolver este problema, necesitamos la probabilidad de tener 0, 1,2 o 3 accidentes y luego restar el resultado de 1.0 para obtener la probabilidad de más de 3 accidentes.

* Como la probabilidad de Poisson de que ocurran tres o menos accidentes es de es de 0.26511, la probabilidad de tener más de tres accidentes debe ser 0.73489 (1.000oo – 0.26511). Debido a que 0.73489 es mayor que 0.65, es necesario tomar medidas para mejorar la intersección.

* Podríamos continuar calculando las probabilidades para más de cuatro accidentes y al final construir una distribución de probabilidad de Poisson del número de accidentes mensuales en esta intersección.

Bibliografía:

* INTRODUCCION A LA SIMULACION Y A LA TEORIA DE COLAS_ Escrito por Ricardo Cao_ Editorial netbiblo.

* Estadística para administración y economía_ autor Levin Rubín Balderas del Valle Gómez_ Editorial Pearson.

Presenta: Castillo Silva Juan Manuel Guzmán Osorno José Jimenez Pérez Isla Martínez Martínez Tomas Alejandro Rivas López Diego Alberto Santiago Domínguez Gabriel