1. SISTEMAS DE COLAS
Parte de nuestra vida diaria es la de esperar algún servicio. Esperamos para entrar a un restaurante, “hacemos cola” en la caja de algún almacén y “nos formamos” y nos formamos para recibir un servicio en la oficina de correos. Y el fenómeno de la espera no es una experiencia que se limite solo a los humanos. Los trabajos esperan a ser procesados en una máquina, los aviones vuelan en circulo hasta que la torre de control les da permiso de aterrizar y los automóviles se detienen ante la luz roja de los semáforos. Desafortunadamente no se puede eliminar la espera sin incurrir en gastos desmesurados. De hecho, todo lo que cabe esperar es reducir el impacto desfavorable a niveles tolerables.
¿POR QUE ESTUDIAR SISTEMAS DE COLAS?
El estudio de las líneas de espera trata de cuantificar el fenómeno de espera formando colas, mediante medidas representativas de eficiencia, como a longitud promedio de la cola, el tiempo promedio de espera en ella, y la utilización promedio de las instalaciones. El ejemplo que sigue demuestra cómo se usan esas medidas para diseñar una instalación de servico.
Ejemplo.
McBurger es un restaurante de comida rápida, con tres mostradores de servicio. El gerente ha encargado que se haga un estudio para investigar las quejas por lo lento del servicio. El estudio indica la siguiente relación entre la cantidad de mostradores de servicio y el tiempo de espera de los clientes.
Al examinar esos datos se ve que hay un tiempo promedio de espera de siete minutos para el caso actual de tres mostradores. El gerente desea reducirlo a unos tres minutos resultado que solo se puede alcanzar con 5 (o más) mostradores.
Figura 1 Modelos de decisión para línea de espera basado en costo.
Se pueden analizar los resultados de colas en el contexto de un modelo de optimización de costos, en el que la suma de los costos de ofrecer el servicio y de esperar se reduzcan al mínimo. La figura 1 representa un modelo característico de costo (en $ por unidad de tiempo), en el que el costo del servicio aumenta al incrementar el nivel del servicio. Al mismo tiempo, el costo de esperar disminuye al incrementara el nivel del servicio. El obstáculo principal para implementar los modelos de costo es que se puede dificultar la obtención de un estimado fiable del costo unitario de espera, en especial cuando el comportamiento humano influye sobre la función del caso.
2. ELEMENTOS DE UN MODELO DE LINEA DE ESPERA (COLA)
Los elementos principales de una línea de espera son el usuario (cliente) y el servidor.
Los usuarios se generan en una fuente. Al llegar en un sistema de servicio pueden recibir servicio inmediato, o esperar en una línea de espera, si el servidor está ocupado. Cuando un servidor se termina un servicio, en forma automática se da servicio al siguiente usuario que espera, si lo hay, de la línea de espera. Si la línea de espera está vacía, el servidor se vuelve inactivo hasta que llegue un usuario nuevo.
Desde el punto de vista del análisis de las líneas de espera, el proceso de llegada se representa con el tiempo entre llegadas, de los clientes sucesivos, y el servicio se describe con el tiempo de servicio por cada cliente. Por lo general, los tiempos entre llegadas y de servicio pueden ser probabilísticos, como el funcionamiento de una oficina de correo, o determinísticos, como en la llegada de solicitantes de entrevistas de trabajo.
El tamaño de la línea de espera desempeña un papel en el análisis de las líneas de espera, y puede ser finito, como en el área de reserva entre dos máquina consecutivas, o puede ser infinito, como en las instalaciones de pedidos por correo.
La disciplina de la línea, que representa el orden en el que se seleccionan a los usuarios de la línea de espera, es un factor en el análisis de líneas de espera. La disciplina más común es la de primero en llegar es el primero en salir (de FCFS first come, first served). Entre otras disciplinas están, el último en llegar es el primero en salir (de LCFS last come, first served), y de dar servicio en orden aleatorio (SIRO service en ramdon order). También, los usuarios se pueden seleccionar en la línea de espera con base en cierto orden de prioridad.
El comportamiento de los usuarios en espera juega un papel en el análisis de líneas de espera. Los usuarios se pueden saltar de una línea a otra línea, tratando de reducir la espera. También pueden rehusar totalmente a la línea de espera por haber esperado demasiado.
El diseño de un sistema de servicio puede comprender uno de los dos tipos de colocación de los servidores:
- Líneas de espera con servidores en serie: se supone que cada cliente que llega debe ser atendido por el servidor 1 y al terminar en este pasa al servidor 2, por lo que se llama línea de espera secuencial.
- Líneas de espera con servidores en paralelo: al llegar, un usuario en una fila si ambos servidores están ocupados, entra a servicio con el servidor 1 si ese servidor esta desocupado, o bien con el servidor 2 en caso contrario. Cuando el usuario concluye el servicio con un servidor (sin importar cuál sea), sale del sistema y el usuario que ha estado formado más tiempo (si hay usuarios en la línea de espera) entra a servicio. Se puede decir que los usuarios no saldrán en el orden de llegada. Por lo tanto, para saber qué usuario deja el sistema a concluir su servicio, se necesita llevar un registro para ver qué usuarios están en el sistema.
La fuente donde se generan los usuarios puede ser finita o infinita. La fuente finita limita a los usuarios que llegan para recibir el servicio, en cambio una fuente infinita es abundante por siempre.
En la mayor parte de los casos de la cola, la llegada de los clientes se hace de una forma totalmente aleatoria. Aleatoriedad quiere decir que la ocurrencia de un evento no está influida por el tiempo que haya transcurrido desde la ocurrencia del evento anterior.
Los tiempos aleatorios entre llegadas se describen en forma cuantitativa, en los modelos de colas, con la distribución exponencial, que se describe como sigue:
Para la distribución exponencial:
El hecho de que la distribución exponencial sea totalmente aleatoria se ilustra en el ejemplo siguiente:
Si ahora son las 8:20 am y la ultima llegada fue las 8:02 am, la probabilidad de que la siguiente llegada sea a las 8:29 es una función solo de las 8:20 a las 8:29 y es totalmente independiente del tiempo que aya trascurrido desde la ocurrencia del último evento (de las 8:02 a las 8:20). A este resultado se le llama amnesia o falta de memoria de la exponencial.
Dada la distribución exponencial f(t) que representa el tiempo t entre eventos sucesivos, si S es el intervalo desde la ocurrencia del último evento, la propiedad de amnesia implica que
Para demostrar este resultado se observa que el exponencial con media 1/λ
Así,
EJEMPLO
Una máquina en servicio tiene una unidad de reserva para sustituirla de inmediato cuando falle. El “tiempo a la falla” (tiempo entre fallas) de la máquina (o de su unidad de reserva) es exponencial, y sucede cada 40 min. En promedio. El operador de la máquina dice que esta “tiene la costumbre de descomponerse cada noche a eso de las 8:30 pm. Analizar lo que dice el operador.
La tasa promedio de fallas de la máquina es λ = 60 / 40 = 1.5 fallas por hora. Así, la distribución exponencial del tiempo a la falla es
En cuanto a lo que dice el operador, ya se sabe que no puede ser correcto, porque se opone al hecho de que el tiempo entre fallas es exponencial y, en consecuencia, es totalmente aleatorio. La probabilidad de que una falla suceda a la 8:30 pm no se puede usar para respaldar ni refutar esa afirmación por que el valor de esa probabilidad depende de la hora del día (en relación a las 8:30 pm) con la que se calcule. Por ejemplo si ahora son las 8:20 pm, la probabilidad de lo que dice el operador sea cierto esta noche es baja.
4. MODELOS CON NACIMIENTOS Y MUERTES PURAS.
Son dos situaciones de colas distintas en la primera de modelo de nacimientos puros es en el que solo se permiten llegadas como por ejemplo la emisión de los certificados de nacimiento para los recién nacidos, y el segundo de modelo de muertes puras es en el que solo se permiten salidas como por ejemplo el retiro aleatorio de un artículo en una tienda.
La distribución exponencial se usa para describir el tiempo entre llegadas en el modelos de nacimientos puros, y el tiempo entre salidas en el modelos de muertes puras. En estos modelos se demuestra la estrecha relación entre la distribución exponencial y de poisson, en el sentido que una define en forma automática a la otra.
4.1 MODELOS CON NACIMIENTOS PURAS.
Se define P0(t) = Probabilidad de que no haya llegadas durante un espacio de tiempo.
Como el tiempo entre llegadas es exponencial, y la frecuencia de llegadas es λ clientes por unidad de tiempo, entonces
Para un intervalo suficientemente pequeño h>0,
La distribución exponencial se basa en la hipótesis que durante un tiempo suficientemente pequeño h>0, puede presentarse cuando mucho una llegada.
Este resultado indica que la probabilidad de una llegada durante h es directamente proporcional a h, y que la frecuencia de llegadas λ es la constante de proporcionalidad.
Para deducir la distribución de la cantidad de llegadas durante un periodo t, cuando el tiempo entre llegadas es exponencial con promedio 1/ λ , se define a Pn(t) = Probabilidad de n llegadas durante t.
Para una h>0 suficientemente pequeña,
Al arreglar los términos y tender los limites cuando h-->t;0, se obtiene
En donde p´n(t) es la primera derivada de Pn(t) con respecto a t.
La solución de estas ecuaciones en diferencias y diferenciales es
Una distribución de Poisson, con media E { nt } = λt llegadas durante t.
Este resultado indica que si el tiempo entre llegadas es exponencial con media 1/ λ la cantidad de llegadas durante un periodo t especifico tiene una distribución de Poisson con media λt.
EJEMPLO :
Los niños nacen es un estado poco poblado, con una frecuencia de un nacimiento cada 12 minutos. El tiempo entre nacimientos sigue una distribución exponencial.
Determinar lo siguiente:
a) La cantidad promedio de nacimientos por año.
b) La probabilidad de que no haya nacimientos en cualquier día.
c) La probabilidad de emitir 50 certificados de nacimientos en 3 horas,cuando se emitieron 40 certificados durante las primeras 2 horas del periodo de 3 horas.
La tasa diaria de nacimientos se calcula
Los nacimientos anuales en el estado son
La probabilidad de que no haya nacimientos en algún dia se calcula con la distribución de poisson:
Para calcular la probabilidad de emitir 50 certificados en 3 horas cuando se han emitido ya 40 certificados en las 2 primeras horas, equivale a tener 10 nacimientos en 1 hora. Como λ = 60/12= 5 nacimientos por hora, entoncesLos cálculos de la distribución de poisson, y en realidad de todas las formulas de colas son tediosos, y requieren manejo especial para asegurar una exactitud de computo razonable.
4.2 MODELOS CON MUERTES PURAS.
En el modelo de muertes puras , el sistema comiena con N clientes cuando el tiempo es 0, y no se permiten mas llegadas. Las salidas se hacen con la frecuencia de µ clientes por unidad de tiempo. Para deducir las ecuaciones en diferencias y diferenciales para la probabilidad Pn(t) de n clientes remanentes a las t unidades de tiempo, se seguirán los argumentos que se usaron en el modelo de nacimientos puros. Entonces
Cuando h-->0, se obtiene
La solución de esas ecuaciones es la distribución truncada de Poisson:
5. MODELO GENERALIZADO DE POISSON
En esta sección se fórmula un modelo general de cola donde se combinan llegadas y salidas, basándose en las hipótesis de poisson: los tiempos de llegadas y de servicio tienen una distribución exponencial. El modelo es la base para deducir modelos de poisson especializados.
El desarrollo de modelo generalizado se basa en el comportamiento a largo plazo, o de estado estable, de la cola, que se alcanza después de que el sistema a estado funcionando durante un y tiempo suficientemente largo. Esta clase de análisis contrasta con el comportamiento transitorio (de calentamiento) que prevalece durante el inicio del funcionamiento del sistema. Una razón para no describir el comportamiento transitorio en este capítulo es su complejidad analítica. Otra es que el estudio de la mayor parte de los casos de línea de espera sucede bajo condiciones de estado estable.
El modelo generalizado supone que las frecuencias tanto de llegada como de salida dependen del estado, y eso quiere decir que dependen de la cantidad de clientes en la instalación de servicios. Por ejemplo, en la caseta de cobro de una autopista, los empleados tienden a acelerar el cobro durante las horas pico.
Se definirá lo siguiente:
n = cantidad de clientes en el servicio (en la cola y en el servicio)
λn = frecuencia de llegada cuando hay n clientes en el sistema
µn = frecuencia de salida cuando hay n clientes en el sistema
pn = probabilidad de estado estable de que haya n clientes en el sistema.
El modelo generalizado define a Pn como función de λn y Pn después se usan estas probabilidades para determinar las medidas de funcionamiento del sistema, como la longitud promedio de la cola, el tiempo promedio de espera y la utilización promedio de la instalación.
Las probabilidades Pn se calculan usando el diagrama de frecuencia de transición (“rapidez” o “tasa de transición”) de la figura 2. El sistema de colas esta en el estado n cuando la cantidad de clientes en el es n. como se explico en la sección 2, la probabilidad de que suceda más de un evento durante un intervalo pequeño h, tiende a cero cuando h → 0. Eso quiere decir que para n > 0, el estado n solo puede cambiar a dos estados posibles: n – 1 cuando hay una salida con frecuencia µn´ y n + 1 cuando hay una llegada con la frecuencia λn. El estado 0 solo puede cambiar al estado 1 cuando hay una llegada con la frecuencia λ0 . Observe que µ0 no está definida, porque no puede haber salidas si el mismo está vacío.
FIGURA 2 Diagrama de transición en colas de Poisson.
Bajo condiciones de estado estable, para n > 0, las tasas esperadas de flujo de entrada y salida del estado n deben ser iguales. Con base en el hecho que el estado n solo puede cambiar a los estados n-1 y n+1, se obtiene
De igual manera,
Al igualar las dos frecuencias se obtiene la siguiente ecuación de balance:
En la figura 2 se ve que la ecuación de balance asociada con n = 0 es
La ecuaciones de balance se resuelven recursivamente en función de p0 como sigue: para n=0,
Después, para n=1,
Se sustituye 
y se simplifica para obtener
Se puede demostrar por inducción que, en general
El valor de p0 se determina con la ecuación
EJEMPLO
B&K Groceries opera con tres cajas. El gerente usa el siguiente programa para determinar la cantidad de cajas en operación, en función de la cantidad de clientes en la tienda:
Los clientes llegan a las cajas siguiendo una distribución de Poisson, con una frecuencia media de 10 por hora. El tiempo promedio de atención a un cliente es exponencial, con 12 minutos de promedio. Calcular la probabilidad p de estado estable que haya n clientes en las cajas. De la información del problema se tiene que
El valor p0 se determina con la ecuación
O bien, lo que es igual,
Se aplica la formula de la suma de una serie geométrica:
Para obtener
En consecuencia, p0= 1/55. Conocida p0, ya se puede determinar cualesquiera de las probabilidades del problema. Por ejemplo, la probabilidad de que sólo haya una caja abierta se calcula como la de que haya entre 1 y 3 clientas en el sistema, esto es.
Se puede usar pn para determinar medidas de funcionamiento, o de eficiencia, para el caso de B&K. Por ejemplo,
6. COLAS ESPECIALIZADAS DE POISSON
La figura 3 muestra el caso especial de colas de Poisson cuando hay c servidores en paralelo. Un cliente en espera se selecciona de la cola para iniciar su servicio en el primer servidor disponible. La frecuencia de llegadas al sistema λ clientes por unidades de tiempo. Todos los servidores están en paralelo y son idénticos, lo que quiere decir que la tasa de servicio en cualquier servidor es µ clientes por unidad de tiempo. La cantidad en el sistema incluye, por definición, los que en el servicio y los que esperan en la cola.
Una notación cómoda para resumir las características de la cola en la figura 3 es la que tiene el siguiente formato:
(a/b/c) : (d/e/f)
En donde
a= Distribución de las llegadas.
b=Distribución de las salidas (o del tiempo de servicio).
c=Cantidad de servidores en paralelo(=1,2,...,∞).
d= Disciplina de la cola.
e=Cantidad máxima (finito o infinito), admisible en el sistema.
f=Tamaño de la fuente (finito o infinito).
Figura 3 Esquema de un sistema de cola con c servidores.
Las notaciones normales o estándar para representar las distribuciones de llegadas y de salidas (símbolos a y b) son:
M= Distribución de Markov (o de Poisson) de las llegadas o de las salidas (o lo que es igual, distribución exponencial del tiempo entre llegadas o tiempo de servicio).
D= Tiempo constante (determinantico).
EK= Distribución de Erlang o gamma del tiempo ( o bien, la suma de distribuciones exponenciales independientes).
GI= Distribución general del tiempo entre llegadas.
G= Distribución general del tiempo de servicio.
Entre las notaciones de disciplina de cola (símbolo d) están:
PLPS= Primero en llegar, primero en ser servidor.
ULPS= Ultimo en llegar, primero en ser servicio.
SEOA= Servicio en orden aleatorio.
DG= Disciplina en general (es decir, cualquier tipo de disciplina).
Para ilustrar el empleo de la notación, el modelo (M/D/10) : (DG/20/∞) usa llegadas de Poisson (o tiempo entre llegadas exponencial), tiempo constante de servicio y 10 servidores en paralelo. La disciplina de la cola es DG y hay un limite de 20 clientes en todo el sistema. El tamaño de la fuente desde donde llegan los clientes es infinito.
6.1 MEDIDAS DE DESEMPEÑO EN ESTADO ESTACIONARIO.
Las medidas de desempeño, eficiencia o funcionamiento de una cola son:
Ls= Cantidad esperada de clientes en el sistema.
Lq= Cantidad esperada de clientes en la cola.
Ws= Tiempo esperado de espera en el sistema
Wq= Tiempo esperado de espera en la cola
c= Cantidad esperada de servidores ocupados.
Recuerde que el sistema abarca tanto a la cola como a la instancia de servicio. Ahora indicaremos como deduce (en forma directa o indirecta) esta medida a partir de la probabilidad pn de estado estable de que hay n en el sistema. En forma específica,
La relación entre Ls y Ws (también Lq y Wq) se llama formula de Little, y es la siguiente:
Estas relaciones son validas bajo condiciones bastante generales. El parámetro λef es la frecuencia efectiva de llegada al sistema. Es igual a la tasa (nominal) de llegada λ cuando todos los clientes que llegan se unen al sistema. En caso contrario, si algunos clientes no se pueden unir porque el sistema esta lleno (por ejemplo, un estacionamiento), entonces λef < λ. Mas adelan te mostraremos como determinar λef.
También hay una relación directa entre Ws y Wq. Por definición,
Esto se traduce a
A continuación, se puede relacionar Ls con Lq, multiplicando ambos lados de la ultima ecuación por λef y junto con la formula de Little se obtiene
Por definición, la diferencia entre cantidad promedio en el sistema, Ls’ y la cantidad promedio en la cola, Lq’ debe ser igual a la cantidad promedio de servidores ocupados, c. entonces,
Por lo anterior, entonces, 
Ejemplo
El estacionamiento de visitas de Ozark College se limita solo a cinco cajones. Los automóviles que lo usan llegan siguiendo una distribución de Poisson con frecuencia de cinco por hora. El tiempo de estacionamiento tiene distribución exponencial con 30 minutos de promedio. Las visitas que no pueden encontrar un lugar vacio inmediatamente cuando llegan pueden esperar provisionalmente dentro del estacionamiento hasta que salga un automóvil estacionando. Los cajones provisionales solo pueden contener tres vehículos. Otros vehículos que no se puedan estacionar ni encontrar un espacio de espera temporal se debe ir a otra parte. Determinar lo siguiente:
a) La probabilidad pn de que hay n automóviles en el sistema.
b) La frecuencia efectiva de llegada para automóviles que usen en realidad el estacionamiento.
c) La cantidad promedio de automóviles en el estacionamiento.
d) El tiempo promedio que espera un automóvil hasta que hay un cajón libre dentro del estacionamiento.
e) La cantidad promedio de cajones de estacionamiento ocupados.
f) La utilización promedio de este estacionamiento.
Primero se observa que un cajón de estacionamiento funciona como servidor, y entonces el sistema tiene un total de c=5 servidores en paralelo. También, que la capacidad máxima del sistema es 5 + 3 = 8 automóviles.
En forma específica se tiene que
De acuerdo con el tema 5.
Figura 4 Relacion entre λ, λef y λperdido.
El valor de p0 se calcula sustituyendo pn’ n= 1, 2, …, 8, en la siguiente ecuación:
La tasa efectiva de llegada λef se puede calcular si se observa el esquema de la figura 4, donde los clientes llegan desde la frecuencia λ automóviles por hora. Un auto que llega puede entrar al estacionamiento o irse a otro lado, con las frecuencias respectivas λef o λperdido’ lo que significa que λ = λef + λperdido. Un automóvil no podrá entrar al estacionamiento si ya están 8 automóviles en el. Eso quiere decir que la proporción de vehículos que no pueden entrar al lote es p8. Entonces,
λperdido = λp8 = 6 x 0.02105 = 0.1263 automóviles por hora
λef = λ – λperdido = 6 – 0.1263 = 5.737 automóviles por hora la cantidad promedio de vehículos en el estacionamiento (los que esperan o los que ocupan un cajón) es igual a Ls’ la cantidad promedio en el sistema. Se puede calcular Ls a partir de pn como sigue:
Ls = 0p0 + 1p1 + … + 8p8 = 3.1286 automóviles
Un automóvil que espera en los cajones provisionales en realidad es uno en una línea de espera. Entonces, su tiempo de espera a que hay un cajón vacio, es Wq’ . Para determinar Wq se usara la ecuación
6.2 Modelos con un servidor
En esta sección se presentan dos modelos para el caso en que hay un solo servidor (c=1). En el primer modelo no se establece límite para la cantidad máxima en el sistema, y en el segundo se supone un límite finito del sistema. Ambos modelos suponen una fuente de capacidad infinita. Las llegadas suceden con la frecuencia de λ clientes por unidad de tiempo, y la tasa de servicio es µ clientes por unidad de tiempo.
(M/M/1) : (DG/∞/∞). Con la notación del modelo generalizado se tiene que
La deducción matemática de pn impone la condición que ρ<1 o que λ < µ. Si λ > µ, la serie geométrica no converge, y no existirán las probabilidades pn de estado estable. Este resultado tiene sentido, intuitivamente, porque a menos que la tasa de servicio sea mayor que la frecuencia de llegada, la cola crece en forma indefinida.
La medida de desempeño Lq se puede deducir como sigue:
Como λef = λ para este caso, las medidas restantes de desempeño se calculan con las ecuaciones del tema 6.1 Así,
Ejemplo
Lavado autómata para automóviles funciona solo con un lugar. Los autos llegan siguiendo una distribución de Poisson, con 4 autos por hora, que pueden esperar en el estacionamiento de la instalación, si el lugar de lavado está ocupado. El tiempo para lavar y limpiar un automóvil es exponencial, con 10 minutos de promedio. Los automóviles que se pueden estacionar en la instalación pueden esperar en el arrollo junto al lavado. Eso quiere decir que para todo fin práctico no hay límite del tamaño del sistema. El gerente de la instalación desea determinar el tamaño del estacionamiento.
En la figura 5 se ven los resultados de este problema. Estos resultados indican que la cantidad promedio de automóviles en la cola, Lq, es 1.33. No recomendamos usar Lq como única base para determinar los cajones de estacionamiento, porque el diseño debe reflejar, hasta cierto punto, la longitud máxima posible de cola.
Figura 5 Resultados del ejemplo anterior
Por ejemplo, podrá ser mas factible diseñar el estacionamiento de tal modo que un automóvil que llegue encuentre lugar al menor el 9’% de las veces. Sea K la cantidad de cajones de estacionamiento. Tener K cajones equivalentes a tener K + 1 lugares en el sistema (en la cola y en lugar de lavado). Un automóvil que llega encontrara un cajón el 90% de la veces si hay cuando mucho K automóviles en el sistema. Esta condición equivalente al siguiente enunciando de probabilidades:
En la figura 5 se ve que los valores acumulados de Pn son 0.86831 y 0.91221 para n=4 y n=5, respectivamente. Esto quiere decir que la condición se satisface con K> 5 cajones de estacionamiento. La cantidad K de espacio también se puede determinar usando la definición matemática de Pn’ esto es,
Al simplificar la desigualdad se obtiene 
Se sacan logaritmos de ambos lados para obtener
En consecuencia, K > 5 cajones de estacionamiento.
(M/M/1) : (DG/N/∞). Este modelo difiere del (M/M/1) : (DG/∞/∞) en que hay un límite N para la cantidad de clientes en el sistema (longitud máxima de la cola = N – 1 ). Entre los ejemplos de este caso están los de manufactura en donde una maquina puede tener un área limitada de reserva y una ventana de servicio para un carril de autos, en un restaurante de comida rápida. Cuando la cantidad de clientes en el sistema llega a N no se permiten mas llegadas, y entonces
este caso es λef y no λ. Como los clientes se pierden cuando hay N en el sistema, entonces, como se ve en la figura 4,
En este caso, λef < µ. La cantidad esperada de clientes en el sistema se calcula como siguiente:
En el mejor de los casos, el uso de una calculadora de bolsillo para calcular las formulas de las colas es tedioso (¡las formulas se harán mas complicados en los modelos mas adelante!). por ello se recomienda usar TORA (o la plantilla ch 17 Poisson Queues.xls de Excel).
EJEMPLO
En la instalación del lavado de autos del ejemplo anterior, supongo que tiene un total de cuatro cajones de estacionamiento. Si el estacionamiento se llena, los automóviles que lleguen se van a otro lado. El propietario desea determinar el impacto que tiene el espacio limitado de estacionamiento sobre la idea de sus clientes e a la competencia. En términos de la notación del modelo, el límite del sistema es N = 4 + 1 =5. Entonces, los datos de TORA son siguientes:
La figura 6 muestra los resultados obtenidos. Como el límite del sistema es N = 5, la proporción de clientes perdidos es p5 = 0.04812 que, con base en un día de 24 horas, equivale a perder (λP5) x 24 = 4 x 0.04812 x 24 = 4.62 automóviles por día. La decisión de aumentar el tamaño del estacionamiento se debería basar en el valor de los clientes perdidos.
FIGURA 6 RESULTADOS DEL EJEMPLO ANTERIOR
Viendo el problema desde un ángulo, el tiempo esperado en el sistema, Ws’ es 0.3736 hora, unos 22 minutos, que es menor de los 30 minutos en el ejemplo anterior, cuando todos los automóviles que llegan se unen al sistema. Esta reducción de 25% se obtiene a expensas de perder aproximadamente el 4.8% de todos los clientes potenciales, debido al espacio limitado de estacionamiento.En este modelo se estudiara tres modelos de colas con varios servidores en paralelo. Los dos primeros son las versiones del anterior tema con varios servidores. El tercer modelo describe el caso del autoservicio, que equivale a tener una cantidad infinita de servidores en paralelo.
(M/M/c):(DG/∞/∞). En este modelo hay c servidores en paralelo. La frecuencia de llegada es λ y la rapidez de servicio es µ por servidor. Como no hay limite de cantidad en el sistema, λef=λ.
El efecto de usar c servidores en paralelo es un aumento en la tasa de servicio de la instalación proporcionada a c. En términos del modelo generalizado ,λn y µn se define entonces como sigue:
entonces
si p= λ/µ, y suponiendo que p/c < n="0" pn="1,">
Se puede determinar como sigue la ecuacion para L
EJEMPLO
Hay dos empresas de taxis que dan servicio a una población. Cada empresa es dueña de dos taxis, y se sabe que las dos empresas comparten partes iguales del mercado. Esto se ve porque legan ocho llamadas por hora a la oficina de cada empresa. El tiempo promedio en el viaje es de 12 minutos. Las llamadas llegan siguiendo una distribución de poison, y el tiempo de viaje es exponencial. Hace poco, un inversionista compro las dos empresas, y le interesa consolidarlas en una sola oficina para dar mejor servicio a los clientes. Analice la propuesta del nuevo dueño.
Desde el punto de vista de colas, los taxis son los servidores y el viaje es el servicio. Se puede representar a cada empresa con el modelo (M/M/2): (DG/N/∞/∞) con λ=8 llamadas por hora y µ= 60/12= 5 viajes por taxi por hora. Al consolidarlas, se tendrá el modelo (M/M/4) : (DG/N/∞/∞) con λ=2x8=16 llamadas por hora y µ=5 viajes por taxi por hora.
Una medida adecuada para comparar los dos modelos es el tiempo promedio que espera un cliente para un viaje, esto es, Wq. los datos para análisis comparativo son los siguientes:
En la siguiente figura podemos observar el resultado de la TORA para los dos escenarios. Los resultados indican que el tiempo de espera para un viaje es 0.356 hora ( ≈ 21 minutos) para el caso de dos empresas, y 0.149 (≈9 minutos) para el caso consolidado; es una notable reducción de más del 50% y una clara evidencia de que se garantiza la consolidación de las dos empresas.
Análisis comparativo
En conclusión del análisis anterior es que al unir los servidores siempre se tiene un modo más eficiente se operación. Este resultado es válido si las instalaciones separadas están “muy” ocupadas.
(M/M/c):(DG/N/∞/∞) Este modelo difiere del (M/M/c) :(DG/ ∞/∞) en que el límite del sistema es un sistema finito, igual a N. Eso quiere decir que el tamaño máximo de la cola es N-c. Las tasas de llegada y de servicio son λ y µ. La frecuencia efectiva de llegada λef es menor que λ, a causa del límite N del sistema.
En términos del modelo generalizado, λn, y µn para este modelo se define:
Sustituyendo λn y µn en la ecuación general y observando que p=λ/µ, se obtiene: 
en donde 
A continuacion se calcula Lq para el caso en que p/c igual o diferente de 1 como sigue:
se puede demostrar que para que p/c=1, Lq se reduce a
para determinar Wq, y en consecuencia Ws y Ls, se calcula el valor de λef como sigue:
En el problema de los taxis consolidado en el ejemplo anterior suponga que no se puede conseguir más fondos para comprar nuevos automóviles. Un amigo aconsejo al dueño que una forma de reducir el tiempo de espera es que la oficina despachadora informe a los clientes nuevos de las demora s excesivas potenciales, una vez que la lista de espera llegue a 6 clientes. Se tiene la seguridad de que con esta medida los clientes nuevos buscarán servicio en otra parte, pero se reducirá el tiempo de espera para los que hay en la lista de espera. Investigar la plausibilidad del consejo del amigo.
Limitar la lista de espera a 6 clientes equivalente a hacer que N= 6+4= 10 clientes. En consecuencia, se esta investigando el modelo (M/M/4):(DG/10/∞) en el que λ=16 clientes por hora y µ=5 viajes por hora. para obtener los resultados del modelo se usan los siguientes datos :
en el tiempo promedio de espera wq, antes de establecer un limite a la capacidad del sistema, es 0.149 hora (= 9 minutos), que es mas o menos el doble del promedio nuevo de 0.075 hora (4.5 minutos). Esta notable reducción se logra a expensas de perder aproximadamente el 3.6% de los clientes potenciales (P10= 0.03574). sin embargo, este resultado no refleja la perdida posible de la buena imagen que los clientes tienen sobre el funcionamiento de la empresa.
Modelo de autoservicio-(M/M/∞): (DG/N/∞). Este modelo, la cantidad de servidores es ilimitada, porque el cliente también es el servidor. Un ejemplo característico es hacer la parte escrita de la prueba de manejo para obtener licencia. Las gasolineras de autoservicio y los cajeros automáticos no caen en la descripción de este modelo, porque en esos casos los servidores son las bombas de gasolina y los cajeros. En el modelo se supone una llegada continua, con las tasas de servicio λ y µ, respectivamente.
En términos del modelo generalizado.
asi
como 
, entonces
el resultado es
que es de de poisson con promedio L,=p. como era de espera, Lq=Wq=0, porque es un modelo de autoservicio.
EJEMPLO
Un inversionista coloca $1000 mensuales en ciertos titulos en el mercado de valores. Como debe esperar una buena oportunidad de “comprar”, el tiempo real de la compra en totalmente independiente. El inversionista suele conservar los títulos durante un promedio de 3 años, pero los vende al azar cuando se presenta la oportunidad de “vender”. Aunque en general se reconoce al inversionista como hábil en el manejo de valores, la experiencia indica que 25% de los titulos bajan más o menos el 20% anual. El 75% restante se aprecian con una rapidez aproximada de 12% por año. Calcule el desempeño promedio del inversionista en el mercado de valores.
En esta situacion se puede considerar como modelo (M/M/∞): (DG/∞/∞) porque, para todo fin practico, el inversionista no debe hacer cola para comprar o vender sus valores. El tiempo promedio entre colocaciones de compra es 1 mes, que equivale a λ=12 titulos por año. La rapidez de venta de los valores es µ= 1/3 de titulo por año. Se puede calcular los resultados del modelo con los siguientes datos a TORA.
para los valores de λ y µ, se obtiene
el estimado del promedioanual del valor neto para el inversionista es
7.MODELOS DE DECISION DE COLAS
El nivel de servicio de una instalación con lineas de espera es una función de la tasa de servicio de µ y de la cantidad de servidores en paralelo c.
Se presentan dos modelos de decisión para determinar los niveles de servicio "adecuados" para sistemas de colas:
1)Modelo de costo
2) Modelo de nivel de aspiración.
En ambos modelos se reconoce que los mayores niveles de servicio reducen el tiempo de espera en el sistema.
Modelos de costo
En los modelos de costo se trata de balancear dos costos opuestos:
- El costo de ofrecer el servicio.
- El costo de demorar la oferta del servicio (el tiempo de espera del cliente).
Las dos clases de costo se contraponen, porque al aumentar una se reduce la otra automáticamente, como se ve en la figura de costos.
Si x=(µ o c) representa el nivel de servicio, se puede expresar como sigue el modelo de costo:
ETC(x) = EOC(x) + EWC(x)
donde:
ETC= Costo total esperado por unidad de tiempo.
EOC= Costo esperado del funcionamiento de la instalación por uniada de tiempo
EWC= Costo esperado de la espera por unidad de tiempo.
Las formas más sencillas de EOC y EWC son las siguientes funciones lineales:
en donde:
C1= Costo por unidad de x por unidad de tiempo.
C2= Costo de la espera por unidad de tiempo por cada cliente que espera.
En los dos siguientes ejemplos que siguen se explica el uso del modelo de costo.
EJEMPLO:
KeenCo Publishing va a comprar va ha comprar una copiadora comercial de alta velocidad. Los proveedores le han puesto cuatro modelos, cuyas especificaciones se resumen a continuación.
Los trabajos llegan a KeenCo siguiendo una distribución de Poisson, con promedio de 4 por día de 24 hrs. El tamaño del trabajo es aleatorio, y su promedio es de unas 10,000 hojas por trabajo. En los contratos con los clientes se especifica una multa por entrega retardada igual a $80 por trabajo y por día. ¿Cuál copiadora debe comprar KeenCo?
Sea el subindice i el modelo de la copiadora (i=1, 2, 3, 4). El costo total esperado por día correspondiente a la copiadora i es:
Los valores de C1i se ven en los datos del problema. Se determinara Lsi reconociendo que, para todo fin práctico, se puede considerar que cada copiadora es un modelo (M/M/l):(DG/∞/∞). La tasa de llegadas es λ=4 trabajos por día. La tasa de servicio, µi, asociada al modelo i, es:
Los valores de Lsi, calculados se ven en la siguiente tabla:
Los costos para los cuatro modelos se calculan como sigue:
El modelo 3 produce costo mínimo.
EJEMPLO
En un almacén de herramientas con varios despachadores, las peticiones de cambio de erramienta suceden de acuerdo con una distribución de Poisson, con una frecuencia de acuerdo con una distribución de Poisson, con una frecuencia de 17.5 soicitudes por hora. Cada almacenista puede manejar un promedio de 10 solicitudes por hora. El costo de contratar un almacenista nuevo en la instalación es de $12 por hora. El costo de producción perdida por máquina en espera y por hora es, aproximadamente, de $50. Calcular la cantidad óptima de despachadores en la instalación.
La situación corresponde a un modelo (M/M/c) en el cual es deseable determinar el valor óptimo de c. Así, en el modelo de costo general presentado al inicio de esta sección, pusimos x=c, que resulta el siguiente modelo de costo:
Observe que Ls(c) es una función del número de (paralelo) empleados en c.
El caso corresponde a un modelo (M/M/c):(DG/∞/∞) con λ=17.5 solicitudes por hora y µ=10 solicitudes por hora. Desde este punto de vista, el modelo llegará al estado estable sólo si c> λ/µ esto es, en este ejemplo, si c>=2. Los valores de Ls(c) se determinan con el módulo de análisis comparativo en colas de TORA.
Así, la cantidad óptima de despachadores es 4.
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Fórmula para determinar la cantidad pedida:
Q= cantidad pedida
Se debe de tomar en cuenta que debe haber revisiones periódicamente para establecer cuando es necesario realizar un pedido.
En donde:
